درسنامه آموزشی فصل دوم ریاضی (3) کلاس دوازدهم علوم تجربی

با توابع مثلثاتی $f(x) = \sin x$ و $f(x) = \cos x$ در سال گذشته آشنا شدیم و دیدیم که در آنها مقادیر تابع برای هر دو نقطه به فاصلهٔ $2\pi $ روی محور $x$ها یکسان است ($\sin (x \pm 2kn) = \sin x$ و $\cos (x \pm 2kn) = \cos x$) به عبارتی اگر تکه‌ای از نمودار این توابع را در بازه‌ای به طول $2\pi $ داشته باشیم، با تکرار این تکه می‌توان نمودار توابع فوق را به‌دست آورد. این مطلب را می‌توانید در شکل‌های زیر مشاهده نمایید.

با دقت به نمودار توابع فوق می‌توان مشاهده کرد که نمودار در بازه‌هایی به طول $2\pi $، $4\pi $، $6\pi $ و... تکرار می‌شود. اما کوچک‌ترین بازه‌ای که نمودار این توابع در آن تکرار شده است، همان $2\pi $ است. چنین توابعی را توابع متناوب $2\pi $ را دورهٔ تناوب آنها می‌نامیم.

همان‌طور که در فعالیت‌های قبل دیدیم در توابع $y = a\sin bx + c$ و $y = a\cos bx + c$ ضریب $a$ در دورهٔ تناوب تابع بی‌تأثیر است، اما در مقدار ماکزیمم و مینیمم تابع تأثیرگذار است. برعکس، ضریب $b$ در دورهٔ تناوب تابع تأثیرگذار و در مقادیر ماکزیمم و مینیمم تابع بی‌تأثیر است. مقدار $c$ نیز از آنجا که فقط باعث انتقال نمودار می‌شود، در دورهٔ تناوب بی‌تأثیر است و صرفاً در مقدار ماکزیمم و مینیمم تابع تأثیرگذار است.

بنابراین با داشتن ضابطهٔ تابعی به‌صورت فوق می‌توان مقادیر ماکزیمم و مینیمم و دورهٔ تناوب تابع را به‌دست آورد و برعکس با داشتن مقادیر ماکزیمم، مینیمم و دورهٔ تناوب یک تابع مثلثاتی، می‌توان ضابطهٔ تابع مورد نظر را به‌دست آورد.

مثال: دورهٔ تناوب و مقادیر ماکزیمم و مینیمم هر یک از توابع زیر را مشخص نمایید.

$y = 3\sin (2x) - 2$ (الف
$\max = \left| 3 \right| - 2 = 1$
$\min = - \left| 3 \right| - 2 = - 5$
$T = \frac{{2\pi }}{{\left| b \right|}} = \frac{{2\pi }}{2} = \pi $

$y =  - \frac{1}{4}\cos (\pi x)$ (ب
$\max  = \left| { - \frac{1}{4}} \right| = \frac{1}{4}$
$\min =  - \left| { - \frac{1}{4}} \right| = - \frac{1}{4}$
$T = \frac{{2\pi }}{{\left| b \right|}} = \frac{{2\pi }}{2} = 2$

$y = \pi \sin ( - x) + 1$ (پ
$\max  = \left| \pi  \right| + 1 = \pi  + 1$
$\min  =  - \left| \pi  \right| + 1 = 1 - \pi $
$T = \frac{{2\pi }}{{\left| { - 1} \right|}} = 2\pi $

$y = 8\cos (\frac{x}{3})$ (ت
$\max  = \left| 8 \right| = 8$
$\min  =  - \left| 8 \right| =  - 8$
$T = \frac{{2\pi }}{{\left| {\frac{1}{3}} \right|}} = 6\pi $

مثال: هر یک از نمودارهای داده شده در زیر مربوط به تابعی با ضابطهٔ $f(x) = a\sin bx + c$ یا $f(x) = a\cos bx + c$ است. با دقت در شکلِ نمودار و تشخیص دورهٔ تناوب و مقادیر ماکزیمم و مینیمم تابع، ضابطهٔ آن را مشخص نمایید.

الف)

ب)

پ)

ت)

حل:

الف) با توجه به شکل، نمودار تابع مورد نظر می‌تواند به‌صورت $y = a\sin bx + c$ باشد و مقادیر ماکزیمم و مینیمم آن برابر 7 و 1 و دورهٔ تناوب برابر $\pi $ است. لذا $T = \frac{{2\pi }}{{\left| b \right|}} = \pi $ و بنابراین $\left| b \right| = 2$.

از طرفی چون مقادیر ماکزیمم و مینیمم به ترتیب $\left| a \right| + c$ و $ - \left| a \right| + c$ است، بنابراین همواره مقدار $c$ میانگین مقادیر ماکزیمم و مینیمم است، داریم $c = 4$ و در نتیجه $\left| a \right| = c$.

با توجه به تأثیری که منفی بودن هر کدام از $a$ و $b$ بر قرینه شدن نمودار تابع نسبت به محورهای $x$ و $y$ دارد، هر دوی $a$ و $b$ باید مثبت باشند لذا ضابطهٔ تابع مورد نظر به‌صورت مقابل است:

$y = 3\sin (2x) + 4$

ب) با توجه به نمودار، ضابطهٔ تابع مورد نظر می‌تواند به‌صورت $y = a\sin bx + c$ باشد و با توجه به مقادیر ماکزیمم و مینیمم و دورهٔ تناوب از روی نمودار، $c = 0$ و $\left| a \right| = \frac{1}{2}$ و $\left| b \right| = 3$ به‌دست می‌آید که در آن علامت $a$ منفی (مثبت) و $b$ مثبت (منفی) است. بنابراین داریم $y =  - \frac{1}{2}\sin 3x$

پ) با توجه به شکل نمودار، ضابطهٔ تابع مورد نظر می‌تواند به‌صورت $y = a\cos bx + c$ باشد و مقادیر ماکزیمم و مینیمم آن برابر 5 و 1 و دورهٔ تناوب برابر $4\pi $ است. بنابراین $c = 3$ و $\left| b \right| = \frac{1}{2}$ و $\left| a \right| = 2$. لذا $a = 2$ و $b = \frac{1}{2}$ و بنابراین داریم $y = 2\cos (\frac{x}{2}) + 3$.

ت) ضابطهٔ این نمودار نیز می‌تواند به‌صورت $y = a\cos bx + c$ باشد و $c = 0$ و $\left| a \right| = 2$ و $\left| b \right| = 1$ و $a$ منفی و $b$ مثبت است. بنابراین داریم $y =  - 2\cos x$

تانژانت

تغییرات تانژانت

تابع تانژانت

همان‌طور که می‌بینیم به ازای هر زاویهٔ دلخواه در دایرهٔ مثلثاتی (به جز $x = k\pi  + \frac{\pi }{2}\,\,\,\,\,,\,\,\,\,\,k \in \mathbb{Z}$)، عددی حقیقی به‌عنوان $\tan x$ داریم و تابعی با ضابطهٔ $y = \tan x$ مشخص می‌کند. دامنهٔ این تابع مجموعهٔ $D = \left\{ {x \in \mathbb{R}|x \ne k\pi  + \frac{\pi }{2},k \in \mathbb{Z}} \right\}$ است و برد آن مجموعه اعداد حقیقی است. به سادگی می‌توان دید تابع $y = \tan x$، تابعی متناوب است و دوره تناوب آن $\pi $ است، زیرا:

$\tan (\pi  + x) = \tan x$

رسم تابع $y = \tan x$